题目内容

已知△AOB，点P在线段AB上，已知 $数学公式$ ，则mn的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：由向量共线定理可得，存在实数λ使得 $\text{[math]}$ （0≤λ≤1），而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，则可得m，n与λ的关系，结合基本不等式可求mn的最大值
解答：由点P在线段AB上可得A，P，B三点共线
由向量共线定理可得，存在实数λ使得 $\text{[math]}$ （0≤λ≤1）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不共线
∴m=1-λ，4n=λ
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了向量共线的定理的应用：若A，B，C三点共线，O为AB外一点，则存在实数λ使得 $\text{[math]}$ ，注意该结论中的系数的特殊关系（λ+（1-λ）=1）

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