Question

（1）求圆心在C（8，-3），且经过点M（5，1）的圆的标准方程；
（2）平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？

Answer 1

分析：（1）由两点的距离公式，算出半径r=5，根据圆方程的标准式即可写出所求圆的方程．
（2）设经过A、B、C三点的圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，代入A、B、C的坐标可得关于a、b、r的方程组，解之可得圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=5，再用点D坐标加以验证，可得点D也在经过A，B，C三点的圆上，得到本题答案．

解答：解：（1）依题意，可得
圆C的半径为r=|CM|=

(5-8)2+(1+3)2

=5，
又∵圆心在C（8，-3），∴圆的标准方程为（x-8）²+（y+3）²=25；
（2）设经过A、B、C三点的圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
把A（0，1），B（2，1），C（3，4）的坐标分别代入圆的方程，
得

a2+(b-1)2=r2 (a-2)2+(b-1)2=r2 (a-3)2+(b-4)2=r2

，解之得

a=1 b=3 r2=5

∴经过A，B，C三点的圆方程为（x-1）²+（y-3）²=5
再将点D的坐标（-1，2）代入上面方程的左边，得（-1-1）²+（2-3）²=5，
所以点D也在经过A，B，C三点的圆上，即A，B，C，D这四点在同一个圆上．

点评：本题求经过三点的圆，并研究四点共圆的问题，着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和点与圆的位置关系等知识，属于基础题．