Question

已知圆M过两点C（1，-1），D （-1，1），且圆心M在x+y-2=0上
（1）求圆M的方程  
（2）设P是直线l：3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积S的最小值 
（3）当S取最小值时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S=2

|PM|2-4

，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论；
（3）由（2）知，当PM垂直直线AB时，面积最小，由此可求当四边形PAMB的面积最小时点P的坐标，
再由P，A，B，M共圆，进而得到两圆公共弦AB的直线方程．

解答：解：（1）设圆M的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根据题意得

(1-a)2+(-1-b)2=r2  (-1-a)2+(1-b)2=r2    a+b-2=0

，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S_△PAM+S_△PBM=

1

2

（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2

|PM|2-4

．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=

3+4+8

5

=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2

|PM|2-4

=2

5

；
（3）由（2）知，当PM垂直直线AB时，面积最小．
此时PM：4（x-1）-3（y-1）=0，即4x-3y-1=0，
设P（x，y），于是由

3x+4y+8=0 4x-3y-1=0

，得

x=- 4 5 y=- 7 5

，
而P，A，B，M共圆且该圆以PM为直径，
故圆的方程为（x-1）（x+

4

5

）+（y-1）（y+

7

5

）=0．
又由AB为两圆的公共弦，
故直线的方程为9x+12y-1=0．

点评：本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．