Question

（2009•河西区二模）已知向量

m

=(2cosωx，1)，

n

=(

3

sinωx-cosωx，a)，函数f(x)=

m

•

n

，（x∈R，ω＞0）的最小正周期为

π

2

，最大值为3．
（I）求ω和常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间及使f（x）≥0成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（I）利用平面向量数量积的坐标表示可求得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1，由其最小正周期为

π

2

，最大值为3可求得ω和常数a的值；
（Ⅱ）由（I）得f（x）=2sin（4x-

π

6

）+1，利用正弦函数的单调性可求得f（x）的单调增区间及使f（x）≥0成立的x的取值集合．

解答：解：（I）∵f（x）=

m

•

n

=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+a
=

3

sin2ωx-cos2ωx-1+a
=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1，
由T=

2π

2ω

=

π

2

，得ω=2．
又当sin（2ωx-

π

6

）=1时y_max=2+a-1=3，得a=2，
∴f（x）=2sin（4x-

π

6

）+1；
（Ⅱ）当2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
即

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）时函数递增．
故f（x）的单调增区间为[

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

π

6

]，（k∈Z）
又由2sin（4x-

π

6

）+1≥0，得sin（4x-

π

6

）≥-

1

2

，
由2kπ-

π

6

≤4x-

π

6

≤2kπ+

7π

6

（k∈Z），
，解得即

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）
故使f（x）≥0成立的x的集合是{x|

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

π

3

，k∈Z}．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查复合三角函数的单调性，属于中档题．