Question

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为（n∈N*）．已知数列{a_n}前n项的“倒平均数”为，记c_n=（n∈N*）．
（1）比较c_n与c _n+1的大小；
（2）设函数f（x）=﹣x²+4x，对（1）中的数列{c_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{b_n}满足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n﹣1﹣b_n﹣2|（n∈N*且n≥3），且{b_n}是周期为3的周期数列，设T_n为{b_n}前n项的“倒平均数”，求T_n．

Answer 1

解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，由题意得，所以S_n=2n²+4n，
当n=1时，a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=4n+2，而a₁也满足此式．
所以a_n=4n+2（n∈N*）．
所以c_n==4﹣，
∴c _n+1﹣c_n==＞0，因此c_n＜c _n+1．
（2）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N*恒成立，即﹣x²+4x≤c_n对任意n∈N*恒成立，
由（1）知数列{c_n}是递增数列，所以只要﹣x²+4x≤c₁，即x²﹣4x+3≤0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N*恒成立．
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b﹣1|，
①若b≥1，则b₃=b﹣1，b₄=|b₃﹣b₂|=1，b₅=|2﹣b|，
因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₅=b₂=b，所以|2﹣b|=b，
所以2﹣b=b，2﹣b=﹣b（舍），故b=1．
此时，{b_n}为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．
②若b＜1，则b₃=1﹣b，b₄=|b₃﹣b₂|=|1﹣2b|，
因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₄=b₁=1，
所以|1﹣2b|=1，即1﹣2b=1或1﹣2b=﹣1，
解得b=0或b=1，均不合题意．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则对n∈N*，有
S_n=即S_n=，
所以T_n=，
因此，Tn=．