Question

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为 （n∈N*）．
（1）若数列{a_n}前n项的“倒平均数”为 ，求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：当n为奇数时，b_n=1，当n为偶数时，b_n=2．若T_n为{b_n}前n项的倒平均数，求 ；
（3）设函数f（x）=﹣x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤ 对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
由题意， ，
所以 ．  
所以a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=4n+2，而a₁也满足此式．
所以{a_n}的通项公式为a_n=4n+2．
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，
则当n为偶数时， ，
当n为奇数时， ．  
所以 ．   
所以  ． 
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x） 对任意n∈N*恒成立，
则﹣x²+4x≤ 对任意n∈N*恒成立，
令 ，因为 ，
所以数列{c_n}是递增数列，
所以只要﹣x²+4x≤c₁，即x²﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x） 对任意n∈N*恒成立．