Question

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}前n项的“倒平均数”为，求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：当n为奇数时，b_n=1，当n为偶数时，b_n=2．若T_n为{b_n}前n项的倒平均数，求；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，由题意，，所以．由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出S_n，从而求出T_n．由此能求出．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N^*恒成立，则-x²+4x≤对任意n∈N^*恒成立，令，则数列{c_n}是递增数列，由此能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N^*恒成立．
解答：解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
由题意，，
所以．  …（1分）
所以a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，
而a₁也满足此式．…（2分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=4n+2．…（1分）
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，则当n为偶数时，，…（1分）
当n为奇数时，．  …（1分）
所以．   …（3分）
所以． …（2分）
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N^*恒成立，
则-x²+4x≤对任意n∈N^*恒成立，…（1分）
令，因为，
所以数列{c_n}是递增数列，…（1分）
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．…（2分）
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N^*恒成立．（2分）
点评：本题考查数列的通项公式、极限的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．