Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为

3

x+y=0，左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，|BF|=1，过F作直线交此双曲线的右支于P、Q两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=-17，求△PBQ的面积S．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线方程的标准方程：

x2

a2

-

y2

b2

=1，结合题意可得关于a、b、c的方程组，解可得答案；
（2）分两种情况讨论：第一种情况：若直线PQ的斜率不存在，不合题意；第二种情况：若直线PQ的斜率存在，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ的方程为y=k（x-2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（1）由题意得：

b a = 3 c-a=1 c 2=a 2+b 2

解得：

a=1 b= 3

∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1--------------------------------------------------------（4分）
（2）第一种情况：若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x=2P（2，3）、Q（2，-3），

OP

•

OQ

=13≠-17，不合题意；--------------------------------（6分）
第二种情况：若直线PQ的斜率存在，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线PQ的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程可得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0（*） 
且判别式△=36k²+36＞0--（7分）
由于P、Q都在双曲线的右支上，所以3-k²≠0，且

x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

，解得k³＞3-----------（8分）
所以y1y2=k(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-

9k2

k2-3

而

OP

=(x1，y1)，

OQ

=(x1，y2)，由于

OP

•

OQ

=-17，所以x₁x₂+y₁y₂=-17
所以

4k2+3

k2-3

-

9k2

k2-3

=-17，得k²=4＞3
此时x₁+x₂=16，x₁x₂=19，y₁y₂=-36，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=12k
所以S△PBQ=

1

2

•|BF|×|y1-y2|=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

(12k)2+4×36

=6

5

即△PBQ的面积是6

5

-----------（11分）

点评：本题考查双曲线的标准方程、双曲线的有关性质，（2）的计算运用了坐标法，结合向量的数量积的运算，是典型的解析几何方法，需要加强训练．