题目内容
已知
、
是单位向量，
与
的夹角为
，
=
-2
，
=2
+λ
．
（Ⅰ）若λ=-1，求
•
及向量
与
的夹角θ的大小；
（Ⅱ）λ取何值时，
⊥
．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| π |
| 3 |
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| e2 |
（Ⅰ）若λ=-1，求
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）λ取何值时，
| a |
| b |
分析：（Ⅰ）当λ=-1，可得
=
-2
，
=2
-
，因为已知
、
是单位向量，且
与
的夹角为
，所以
•
=
．|
|=1，|
|=1，代入
•
，就可求出．再利用数量积公式就可求出向量
与
的夹角θ的大小．
（Ⅱ）若
⊥
，则它们的数量积等于0，先带着λ求
•
，再让
•
=0，就可得到含λ的方程，解出λ即可．
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| π |
| 3 |
| e1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
| e1 |
| e2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：（Ⅰ）
=
-2
，
=2
-
，
•
=
•
=(
-2
)•(2
-
)=2
•
-5
•
+2
•
=4-
=
；
|
|2=
•
=(
-2
)•(
-2
)=
•
-4
•
+4
•
=3，|
|=
，
同理|
|=
，cosθ=
=
=
，cosθ=
；
又θ∈[0，π]，所以θ=
．
（Ⅱ）由
⊥
知：
•
=0，（7分）
•
=(
-2
)•(2
+λ
)=2
•
+(λ-4)
•
-2λ
•
=2+
(λ-4)-2λ=-
λ=0，故λ=0
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
|
| a |
| a |
| a |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e2 |
| a |
| 3 |
同理|
| b |
| 3 |
| ||||
|
|
| ||||
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又θ∈[0，π]，所以θ=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e2 |
=2+
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了向量的数量积，向量的夹角的求法，做题时要细心．
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