Question

18．设函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）请你确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（x）为增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=a-$\frac{2}{1+1}$=0，
∴a=1；
（2）证明：任取：x₁＜x₂∈R，
∴f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=2•$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
又${2}^{{x}_{1}}+1$＞0，${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上的单调递增．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，结合函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．