Question

14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S（x，y）到点M（$\sqrt{3}$，0）的距离与它到直线x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$的距离之比为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，圆O的方程为x²+y²=4，曲线C与x轴的正半轴的交点为A，过原点O且异于坐标轴的直线与曲线C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D（-$\frac{6}{5}$，0），设直线AB，AC的斜率分别为k₁、k₂
（I） 求曲线C的方程，并证明S（x，y）到点M的距离d∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]
（Ⅱ）求k₁k₂的值；
（Ⅲ）记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ、k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ=λk_BC？若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C的方程，并能证明S（x，y）到点M的距离d∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．
（Ⅱ）设B（x₀，y₀），则C（-x₀，-y₀），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值．
（Ⅲ）讨论直线PQ的斜率存在和不存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得点B的坐标，再求出直线PQ和直线PC的斜率，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C上的点S（x，y）到点M（$\sqrt{3}$，0）的距离与它到直线x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$的距离之比为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-0）^{2}}}{|x-\frac{4}{\sqrt{3}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∵M（$\sqrt{3}，0$）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的右焦点，S是椭圆上的点，
∴S（x，y）到点M的距离d∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．
（Ⅱ）设B（x₀，y₀），则C（-x₀，-y₀），∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅲ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（1+{{k}_{1}}^{2}）{x}^{2}$-4k₁²x+4（${{k}_{1}}^{2}-1$）=0，
解得${x}_{p}=\frac{2（{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，y_P=k₁（x_P-2）=$\frac{-4{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k₁²）x²-16${{k}_{1}}^{2}$x+4（4${{k}_{1}}^{2}$-1）=0，
解得${x}_{B}=\frac{2（4{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，${y}_{B}={k}_{1}（{x}_{B}-\sqrt{2}）$=$\frac{-4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$．
∴${k}_{BC}=\frac{{y}_{B}}{{x}_{B}}$=$\frac{-2{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}-1}$，k_PQ=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}+\frac{6}{5}}$=$\frac{-\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}{\frac{2（{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+{{k}_{1}}^{2}}+\frac{6}{5}}$=$\frac{-5{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}-1}$，
∴${k}_{PQ}=\frac{5}{2}{k}_{BC}$，
∴存在常数λ=$\frac{5}{2}$，使得k_PQ=$\frac{5}{2}$k_BC．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、椭圆方程的性质的合理运用．