Question

14．在直角坐标系xOy中，在直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{2}+2t}\end{array}\right.$（t为参数），点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）将曲线C上的各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，再将所得的曲线向左平移1个单位，得到曲线C₁，求曲线C₁上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （I）消参数得出l的普通方程，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的普通方程；
（II）求出C₁的方程，在C₁上任意取一点M（cosθ，2sinθ），代入点到直线的距离公式求出距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）直线l的普通方程为$y=2x+\sqrt{2}$；
∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为曲线C上任意一点，则P′（$\frac{1}{2}{x}_{0}$-1，y₀）为曲线C₁上的点，
设P′（x，y），则x₀=2x+2，y₀=y，
∴4x²+y²=4，即${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
∴曲线C₁的方程为：${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
设M（cosθ，2sinθ）为曲线C₁上任意一点，
则M到直线l：$2x-y+\sqrt{2}=0$的距离为$d=\frac{{|{2cosθ-2sinθ+\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）+\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}$．
∴当cos（$θ+\frac{π}{4}$）=1时，d取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，距离公式的应用，属于中档题．