Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）ex ．
（1）当a=﹣ 时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当﹣ ＜a＜﹣ 时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a= 时，f（x）= x2+（x﹣1）ex，

∴f（1）= ，

f′（x）=﹣（e+1）x+xex，∴f′（1）=﹣1

切线方程为：y+ =﹣（x﹣1），

即：2x+2y+e﹣1=0

（2）解：f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a）

①当2a≥0即a≥0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

②当﹣ ＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，

在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

③当a=﹣ 时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

④当a＜﹣ 时，f（x）在（﹣∞，0））上单调递增，

在（0，ln（﹣2a））上单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增

（3）解：由（2）知，当﹣ ＜a＜﹣ ＜0时，

f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

∴x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2），

f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1） ﹣1

∵x1=ln（﹣2a），∴a=﹣ ，

∴f（x1）+f（x2）=﹣ x12+（x1﹣1） ﹣1= （﹣ x12+x1﹣1）﹣1

∵﹣ ＜a＜﹣ ，∴ ＜﹣2a＜1，∴﹣1＜x1=ln（﹣2a）＜0，

令（x）=ex （﹣ x2+x﹣1）﹣1（﹣1＜x＜0）

∴′（x）=ex （﹣ x2）＜0∴（x）在（﹣1，0）单调递减

∴（0）＜（x）＜（﹣1）

即﹣2＜（x）＜﹣ ﹣1

∴所有极值的和的取值范围为（﹣2，﹣ ）

【解析】（1）当a= 时，求出f′（x）=﹣（e+1）x+xex ， 利用导数的几何意义能出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a），由此根据a≥0，﹣ ＜a＜0，a=﹣ ，a＜﹣ ，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．（3）推导出x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1） ﹣1，由此利用导性质能求出所有极值的和的取值范围．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．