Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣ 与x=1处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，

由f′（ ）= ﹣ a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，

得a=﹣ ，b=﹣2，

经检验，a=﹣ ，b=﹣2符合题意；

（2）解：由（1）得f′（x）=3x2﹣x﹣2，

曲线y=f（x）在x=2处的切线方程斜率k=f′（2）=8，

又∵f（2）=2，

∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣2=8（x﹣2），

即8x﹣y﹣14=0为所求．

【解析】（1）先求出函数f（x）的导数，再建立关于a，b的方程组，解方程组可得a，b的值；（2）先求出函数f（x）的导数，再计算f′（2），f（2），进而可得切线方程．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．