Question

22.已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数.

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅲ）若，，是数列的前项和，证明：

Answer 1

本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题可得

所以过曲线上点的切线方程为，

即

令，得，即

显然 ∴

（Ⅱ）由，知，同理，

故

从而，即

所以，数列成等比数列，故，

即，从而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

∴

∴

当时，显然

当时，，

∴

综上，