Question

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试说明是否存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与y=

5

8

+ln2无公共点．

Answer 1

（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，f′(x)=2x-1-

1

x-1

=

2x(x- 3 2 )

x-1

，所以f（x）在(1，

3

2

)为减函数
在(

3

2

，+∞)为增函数，所以函数f（x）的最小值为f(

3

2

)=

3

4

+ln2．
（2）f′(x)=2x-a-

a

x-1

=

2x(x- a+2 2 )

x-1

，
若a≤0时，则

a+2

2

≤1，f（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则

a+2

2

＞1，故当x∈(1，

a+2

2

]，f′（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≤0，
当x∈[

a+2

2

，+∞)时，f（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为(1，

a+2

2

]，f（x）的增区间为[

a+2

2

，+∞)

（3）a≥1时，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值为f(

a+2

2

)=-

a2

4

+1-aln

a

2

，
令g(a)=f(

a+2

2

)=-

a2

4

+1-aln

a

2

在[1，+∞）上单调递减，
所以g(a)max=g(1)=

3

4

+ln2，则g(a)max-(

5

8

+ln2)=

1

8

＞0，
因此存在实数a（a≥1）使f（x）的最小值大于

5

8

+ln2，
故存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与y=

5

8

+ln2无公共点