题目内容

点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k＞0)，求点M的轨迹。

答案：
解析：

解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系。

设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合：

P={M｜｜MR｜·｜MQ｜=k},

(其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足）

因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，

∴｜x｜·｜y｜=k

即x·y=±k       ①

(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；

（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，那么x1y1=±k,

即｜x1｜·｜y1｜=k。

而｜x1｜、｜y1｜正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点。

由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程。


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精英家教网已知椭圆E的方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点坐标为（1，0），点P（1，
3
2
）在椭圆E上．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过椭圆E的顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）两点M，N．
问：直线MN是否一定经过x轴上一定点？若是，求出定点坐标，不是，说明理由．
已知双曲线C1：x2-y2=m（m＞0）与椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦点F1F2，点N(
2
，1)是它们的一个公共点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）过点F2且互相垂直的直线l1，l2与圆M：x2+（y+1）2=4分别相交于点A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此时直线l1的方程．
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