Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．
（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=y₂，根据=0代入求得x₁²-=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式代入=0中整理可求得2b²-k²=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．
解答：解：（1）依题意知2b=2，∴b=1，e===
∴a=2，c==
∴椭圆的方程为
（2）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=y₂，
∵=0
∴x₁²-=0
∴y₁²=4x₁²
又A（x₁，y₁）在椭圆上，所以x₁²+=1
∴|x₁|=，|y₁|=
s=|x₁||y₁-y₂|=1
所以三角形的面积为定值．
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
消去y得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，△=（2kb）²-4（k²+4）（b²-4）＞0
而=0，
∴x₁x₂+=0
即x₁x₂+=0代入整理得
2b²-k²=4
S=|AB|=|b|=
===1
综上三角形的面积为定值1．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．