Question

如图在直三棱柱中,.
(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值大小;
(Ⅲ)在上是否存在点,使得∥平面, 若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.
由可得.
所以.    (Ⅱ)过作于,连结.
由底面可得.故为二面角的平面角.
在中,,
在Rt中,,
故所求二面角的余弦值大小为. 

(Ⅲ)存在点使∥平面,且为中点,下面给出证明.设与交于点则为中点.
在中, 连结,分别为的中点,故为的中位线,
∥,又平面,平面,   ∥平面.
故存在点为中点,使∥平面.      
解法二 直三棱柱,底面三边长,
两两垂直.
如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则

.
(Ⅰ),
,故.             
(Ⅱ)平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,,,
由得
令,则.则.故＜＞=.
所求二面角的余弦值大小为.
（3）同上

略