题目内容

已知向量
OP
=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，
OQ
=(cosx，-1)，定义f(x)=
OP
•
OQ
．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的取值集合．
分析：（1）利用向量的数量积，求出f（x）的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递减区间；
（2）结合（1）利用正弦函数的有界性，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．
解答：解：（1）f（x）=
OP
•
OQ
=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1…（2分）
=cos+sinx…（4分）
=
2
sin(x+
π
4
)…（6分）
令2kπ+
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，
解得2kπ+
π
4
≤x≤2kπ+
5π
4
．
所以，函数f(x)的单调递减区间为[2kπ+
π
4
，2kπ+
5π
4
]，k∈Z．…（9分）
（2）函数f（x）的最大值是
2
，此时x+
π
4
=2kπ+
π
2
，即x=2kπ+
π
4
．
所以，函数f（x）取得最大值
2
时的x的取值集合为{x|x=2kπ+
π
4
，k∈Z}．…（12分）
点评：本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的最值，考查学生计算能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
在以下四个命题中，不正确的个数为（　　）
（1）若
a
与
b
-
c
都是非零向量，则
a
 • 
b
=
a
 • 
c
是
a
⊥(
b
-
c
)的充要条件
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
（3）空间三个向量
a
，
b
，
c
，若
a
∥
b
，
 b
∥
c
，  则
a
∥
c

（4）对于任意空间任意两个向量
a
， 
b
，
a
∥
b
的充要条件是存在唯一的实数λ，使
a
=λ
b
．
对向量a=（a1，a2），b=（b1，b2）定义一种运算“?”：a?b=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b1，a2b2），已知动点P、Q分别在曲线y=sinx和y=f（x）上运动，且
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中为O坐标原点），若 
m
=(
1
2
，3)，
n
=(
π
6
，0)，则y=f(x)的最大值为（　　）
定义向量⊕运算：
a
⊕
b
=
c
，若
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），则向量
c
=（a1b1，a2b2）．已知
m
=（
1
2
，2），
n
=（
π
6
，0），且点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且点P和点Q满足：
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）
在以下四个命题中，不正确的个数为（　　）
（1）若
a
与
b
-
c
都是非零向量，则
a
 • 
b
=
a
 • 
c
是
a
⊥(
b
-
c
)的充要条件
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1
（3）空间三个向量
a
，
b
，
c
，若
a
∥
b
，
 b
∥
c
，  则
a
∥
c

（4）对于任意空间任意两个向量
a
， 
b
，
a
∥
b
的充要条件是存在唯一的实数λ，使
a
=λ
b
．
A．1B．2C．3D．4

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