题目内容

定义向量⊕运算：
a
⊕
b
=
c
，若
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），则向量
c
=（a1b1，a2b2）．已知
m
=（
1
2
，2），
n
=（
π
6
，0），且点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且点P和点Q满足：
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）
分析：可先把动点Q的坐标设出，然后根据给出的新定义把向量
m
、
n
、
OP
的坐标代入，整理后得到关于Q点的横纵坐标的参数方程，消参后即可得到函数y=f（x）的解析式，则函数的最大值和周期可求．
解答：解：设Q（x1，y1），则
OQ
=(x1，y1)，
m
=(
1
2
，2)，
OP
=(x，y)，
n
=(
π
6
，0)，
因为点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，所以P（x，cos2x），
所以由
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
得：(x1，y1)=(
1
2
x，2cos2x)+(
π
6
，0)=(
1
2
x+
π
6
，2cos2x)，
所以
x1=
1
2
x+
π
6
y1=2cos2x
，解得：y1=2cos(4x1-
π
3
)，
即f（x）=2cos（4x-
π
3
）．
所以函数f（x）的最大值A=2，周期T=
2π
4
=
π
2
．
故选B．
点评：本题以向量为载体，考查了函数的周期和值域，考查了两向量相等的条件，训练了消参方法，解答此题的关键是能够正确解出函数f（x）的解析式，属新定义问题．
练习册系列答案
相关题目
设
a
=( a1 ， a2)，
b
=( b1 ， b2)，定义一种向量运算：
a
?
b
=( a1b1 ， a2b2)，已知
m
=(
1
2
 ， 2a)，
n
=(
π
4
 ， 0)，点P（x，y）在函数g（x）=sinx的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且满足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O为坐标原点）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h(x)=2asin2x+
3
2
f(x-
π
4
)+b，且h（x）的定义域为[
π
2
 ， π]，值域为[2，5]，求a，b的值．
（文）对于任意的平面向量
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，定义新运算⊕：
a
⊕
b
=(x1+x2，y1y2)．若
a
，
b
，
c
为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是
①③
①③
．
①
a
⊕
b
=
b
⊕
a
；            
②(k
a
)⊕
b
=
a
⊕(k
b
)；
③
a
⊕(
b
⊕
c
)=(
a
⊕
b
)⊕
c
；   
④
a
⊕(
b
+
c
)=
a
⊕
b
+
a
⊕
c
．
（2012•闸北区二模）对于任意的平面向量
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，定义新运算⊕：
a
⊕
b
=(x1+x2，y1y2)．若
a
，
b
，
c
为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是
①④
①④
．
①
a
⊕
b
=
b
⊕
a
；    ②(k
a
)⊕
b
=
a
⊕(k
b
)；    ③k(
a
⊕
b
)=(k
a
)⊕(k
b
)
④
a
⊕(
b
⊕
c
)=(
a
⊕
b
)⊕
c
；     ⑤
a
⊕(
b
+
c
)=
a
⊕
b
+
a
⊕
c
．
（2013•潮州二模）设向量
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，定义一运算：
a
?
b
=(a1，a2)?（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知
m
=(
1
2
，2)，
.
n
=(x1，sinx1)，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足
.
OQ
≡
m
?
n
（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（　　）

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