Question

6．设f（x）是二次函数，其图象过点（0，1），且在点（-2，f（-2））处的切线方程为2x+y+3=0．
（1）求函数f（x）的表达式
（2）求函数f（x）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积；
（3）若直线x=-t（0＜t＜1）把f（x）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案．
（2）根据定积分的定义可得答案．
（3）由题意可得${∫}_{-1}^{-t}$（x2+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（x2+2x+1）dx，化简得2（t-1）³=-1，由此求得t的值．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，f′（x）=2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c=1}\\{f（-2）=4a-2b+c=1}\\{f′（-2）=-4a+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）S=${∫}_{-1}^{0}$（x2+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}$x3+x2+x） ${|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$．
（3）由题意可得${∫}_{-1}^{-t}$（x2+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（x2+2x+1）dx
即 （$\frac{1}{3}$x3+x2+x）${|}_{-1}^{0}$=（$\frac{1}{3}$x3+x2+x）${|}_{-1}^{0}$．
即-$\frac{1}{3}$t3+t2-t+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$t3-t2+t，∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-$\frac{1}{\root{3}{2}}$．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．