Question

线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），两端点A、B到x轴的距离之积为2m，O为坐标原点，以x轴为对称轴，经过A、O、B三点作抛物线．
（1）求这条抛物线方程；
（2）若∠AOB=

3π

4

，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程、直线AB的方程，联立这两个方程组消去x，利用两端点A、B到x轴的距离之积为2m，可求m的值，从而可得抛物线方程；
（2）利用tan（∠AOM+∠BOM）=-1，结合韦达定理，确定k、m的关系式，从而可得不等式，由此可求m的最大值．

解答：解：（1）可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
设直线AB的方程为y=k（x-m）（k≠0）…（2分）
联立这两个方程组消去x得，ky²-2py-2pkm=0，…（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得|y₁|•|y₂|=2m，注意到y₁•y₂＜0，所以y₁•y₂=-2m，
又y₁•y₂=-2pm，所以-2m=-2pm，因为m＞0，所以p=1．
所以抛物线方程为y²=2x；…（6分）
（2）因为∠AOB=

3π

4

，所以tan∠AOB=-1，即tan（∠AOM+∠BOM）=-1
又tan∠AOM=

y1

x1

=

2

y1，

，tan∠BOM=

-y2

x2

=-

2

y2

，
所以

2 y1 +(- 2 y2 )

1- 2 y1 •(- 2 y2 )

=-1，
整理得y₁y₂+4=2（y₁-y₂）．…（8分）
因为y₁y₂=-2m，所以y₁-y₂=2-m＞0，从而(y1-y2)2=(2-m)2，
即(y1-y2)2-4y1y2=(2-m)2，所以(

2

k

)2+8m=(2-m)2，即

4

k2

=m2-12m+4，
因此m²-12m+4＞0，…（10分）
又当AB⊥x轴时，y₁+y₂=0，所以8m=（2-m）²，即m²-12m+4=0，
于是m²-12m+4≥0，且0＜m＜2，解之不等式组得到0＜m≤6-4

2

．
故m的最大值是6-4

2

．…（12分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查解不等式，属于中档题．