Question

如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m＞0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线．
（1）求抛物线方程；
（2）若m为定值，求△AOB面积的最小值；
（3）若∠AOB=

2π

3

，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设直线AB方程为：x=ky+m，抛物线方程为：y²=2px（p＞0），由

y2=2px x=ky+m

得，y²-2pky-2pm=0，再由韦达定理能够导出抛物线方程；
（2）由S△AOB=

1

2

|OM|•|y1-y2|=

1

2

m

4k2+8m

，能够导出△AOB面积的最小值；
（3）cos∠AOB=

OA • OB

| OA| •| OB |

=

x1x2+y1y2

(x12+2x1)(x22+2x2)

=

3 (m2-2m)

2m 4k2+8m

=-

1

2

，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）设直线AB方程为：x=ky+m，抛物线方程为：y²=2px（p＞0），
由

y2=2px x=ky+m

得，y²-2pky-2pm=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有

y1+y2=2pk y1y2=-2pm

，
由题意，|-2pm|=2m?2p=2，
故所求抛物线方程为：y²=2x；
（2）S△AOB=

1

2

|OM|•|y1-y2|
=

1

2

m

4k2+8m

≥m

k2+2m

=m

2m

．
（3）cos∠AOB=

OA • OB

| OA| •| OB |

=

x1x2+y1y2

(x12+2x1)(x22+2x2)

=

3 (m2-2m)

2m 4k2+8m

=-

1

2

，
∴

0＜m＜2 3m2-20m+12=4k2

≥0，
∴0＜m≤

2

3

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，求△AOB面积的最小值和求实数m的取值范围．解题时要认真审题，仔细挖掘题设中的隐含条件，灵活运用抛物线的性质，合理地进行等价转化．