Question

（13分）已知函数 

（1）当时，证明：函数只有一个零点；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

Answer 1

解析：（Ⅰ）当a=1时，，其定义域是，

                    ………（1分）

    令，即，解得或．

    ，舍去．

     当时，；当时，．

∴函数在区间（0，1）上单调递增，在区间上单调递减（4分）

    ∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．

当时，，即．

    ∴函数只有一个零点．                       ………………（6分）

（Ⅱ）法一：因为其定义域为，

所以……（7分）

①当a=0时，在区间上为增函数，不合题意（8分）

②当a>0时，等价于，即．

此时的单调递减区间为．

依题意，得解之得．          …………………（10分）

③当a<0时，等价于，即?

此时的单调递减区间为，得

综上，实数a的取值范围是       ………（13分）