Question

已知函数f(x)＝ax²－(4a＋2)x＋4lnx，其中a≥0．
（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）讨论函数f(x)的单调性．

Answer 1

（1）2x－y－4＝0，（2）当a＝0时，f(x)的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)；
当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)，减区间为(2，)；当a＝时，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a＞时，f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)，减区间为(，2)

试题分析：（1）利用导数集合意义，在处导数值等于该点处切线的斜率，因为，所以
f ′(1)＝2, 又切点为(1，－2)，所以所求切线方程为y＋2＝2(x－1)，（2）函数f(x)的单调性之所以要讨论，就是由于导函数为零时根的不确定性.因为，所以当a＝0时，方程在定义域内只有一根；当时，需讨论两根的大小，三种情况0＜a＜，a＝，及a＞需一一讨论.解题过程中，最易忽视的是两根相等的情况；答题时最易出错的是将两个单调性相同的不连续区间用“并集”“或”合并写.
试题解析：解（1）当a＝0时，f(x)＝－2x＋4lnx，
从而，其中x＞0．                         2分
所以f′(1)＝2．
又切点为(1，－2)，
所以所求切线方程为y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0．      4分
（2）因为f(x)＝ax²－(4a＋2)x＋4lnx，
所以，其中x＞0．
①当a＝0时，，x＞0．
由f′(x)＞0得，0＜x＜2，所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；    6分
②当0＜a＜时，因为＞2，由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞．
所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)；单调减区间为(2，)；      8分
③当a＝时，，且仅在x＝2时，f ′(x)＝0，
所以函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；
④当a＞时，因0＜＜2，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞2，
所以函数f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)；单调减区间为(，2)．
综上，
当a＝0时，f(x)的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)；
当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)，减区间为(2，)；
当a＝时，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；
当a＞时，f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)，减区间为(，2)．   10分