题目内容

如图，在四棱锥中，底面为矩形， 为等边三角形，，点为中点，平面平面.

（1）求异面直线和所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小.
（1）异面直线和所成角的余弦值为;（2）二面角的大小为.

试题分析：（1）建立如图所示坐标系,写出各点的空间坐标，利用，夹角的余弦，得出两异面直线和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量与平面的法向量的夹角，求出二面角的大小.
试题解析：

解：取的中点，连接，为等边三角形，
，又平面平面， 2分
以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，不妨设,依题意可得：
 3分
（1）,
从而 ,
 5分
于是异面直线和所成角的余弦值为.6分
（2）因为，所以是平面的法向量，8分
设平面的法向量为，又，
由 即，令得 10分
于是 11分
从而二面角的大小为.                     12分
练习册系列答案
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如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．
 
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．

(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证DE⊥BC1；
(2)是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．
以下四组向量：
①
a
=(1，-2，1)，
b
=(-1，2，-1)；
②
a
=(8，4，0)，
b
=(2，1，0)；
③
a
=(1，0，-1)，
b
=(-3，0，3)；
④
a
=(-
4
3
，1，-1)，
b
=(4，-3，3)
其中互相平行的是（　　）
A．②③B．①④C．①②④D．①②③④
已知
a
=（2，-1，2），
b
=（-1，3，-3），
c
=（13，6，λ），若向量
a
，
b
，
c
共面，则λ=______．
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．
若向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量的坐标为　　　　．
已知向量，,,则(     )
A．B．C．5D．25

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