Question

已知函数f(x)满足如下条件：当x∈(－1,1]时，f(x)＝ln(x＋1)，且对任意x∈R，都有f(x＋2)＝2f(x)＋1.

(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求当x∈(2k－1,2k＋1]，k∈N_＋时，函数f(x)的解析式.

Answer 1

(1)x∈(－1,1]时，f(x)＝ln(x＋1)，f′(x)＝，

所以，函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，即y＝x.

(2)因为f(x＋2)＝2f(x)＋1，所以，当x∈(2k－1,2k＋1]，k∈N^*时，x－2k∈

(－1,1]，

f(x)＝2f(x－2)＋1

＝2²f(x－4)＋2＋1

＝2³f(x－6)＋2²＋2＋1

＝…

＝2^kf(x－2k)＋2^k－1＋2^k－2＋…＋2＋1

＝2^kln(x－2k＋1)＋2^k－1.