已知(1+x)n＝1+x+x2+-+xn.用导数的知识证明:+2+3C3n+-+n＝n·2n-1 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知(1＋x)ⁿ＝1＋x＋x²＋…＋xⁿ，用导数的知识证明：＋2＋3C³_n＋…＋n＝n·2ⁿ^－1

答案：

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已知集合M＝{a，0}，N＝{x|2x²－5x＜0，x∈Z}，若M∩N≠，则a等于

[　　]

已知(1＋x)ⁿ＝1＋

xⁿ，用导数的知识证明：

＋3C³_n＋…＋n

＝n·2ⁿ^－1

已知(1＋x)ⁿ＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋…＋a_nxⁿ，若a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝16，则自然数n＝________．

已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n_＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}为等比数列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁qⁿ^－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)证明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．