Question

已知函数f(x)，对任意x，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时，，
（1）证明：f(x)是奇函数；
（2）求f(x)在R上的解析式。

Answer 1

（1）证明：因为函数f(x)，对任意x，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+ f(y)成立，所以f(0)=0，
令，
则f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数。
（2）解：当x＞0时，；
当x＞0时，-x＜0，，
由f(-x)=-f(x)，得，
所以，。