Question

函数y=

sin3x

sinx

-

cos5x

cosx

(x∈(0，

π

2

))的值域是（　　）

A．[-1，3]

B．[-1，4]

C．（-6，3]

D．（-2，4]

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简函数的解析式为y=-16(sin 2x-

1

4

)2+3，根据0＜sinx＜1，再利用二次函数的性质可得函数y的值域．

解答：解：∵函数y=

sin3x

sinx

-

cos5x

cosx

=

3sinx-4sin3x

sinx

-

cos3xcos2x-sin3xsin2x

cosx

 
=3-4sin²x-

(4cos3x-3cosx)cos2x-sin3x• 2sinxcosx

cosx

 
=3-4sin²x-4cos²x cos2x+3cos2x+2sin3xsinx
=3-4sin²x-4（1-sin²x）（1-2sin²x）+3（1-2sin²x）+2（3sinx-4sin³x）sinx
=2+8sin²x-16sin⁴x=-16(sin 2x-

1

4

)2+3，且 0＜x＜

π

2

，∴0＜sinx＜1，
∴当sin²x=

1

4

时，函数取得最大值为 3，当sinx 趋于1 时，函数的最小值趋于-6，
即函数的值域为 （-6，3]，
故选 C．

点评：本题主要考查二倍角公式、正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，属于中档题．