题目内容
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为
6：5：4
6：5：4
．分析：设三边长分别为 a、a-1、a-2．由余弦定理可得 cosA=
．再由3b=20acos A，可得cosA=
，
故有
=
，解得a的值，可得三边长．再由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC的值．
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
故有
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
解答：解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．
由余弦定理可得 cosA=
=
=
．
再由3b=20acos A，可得cosA=
=
，故有
=
，
解得 a=6，故三边分别为6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，
故答案为 6：5：4．
由余弦定理可得 cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| (a-1)2+(a-2)2-a2 |
| 2(a-1)(a-2) |
| a-5 |
| 2(a-2) |
再由3b=20acos A，可得cosA=
| 3b |
| 20a |
| 3a-3 |
| 20a |
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
解得 a=6，故三边分别为6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，
故答案为 6：5：4．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．
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