Question

（2012•威海二模）若集合A₁，A₂…A_n满足A₁∪A₂∪…∪A_n=A，则称A₁，A₂…A_n为集合A的一种拆分．已知：
①当A₁∪A₂={a₁，a₂，a₃}时，有3³种拆分；
②当A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂，a₃，a₄}时，有7⁴种拆分；
③当A₁∪A₂∪A₃∪A₄={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}时，有15⁵种拆分；
…
由以上结论，推测出一般结论：
当A₁∪A₂∪…A_n={a₁，a₂，a₃，…a_n+1}有

（2ⁿ-1）ⁿ⁺¹

种拆分．

Answer 1

分析：观察所给的几个集合的拆分种数，发现规律，由此推测出一般结论即可．

解答：解：观察①当A₁∪A₂={a₁，a₂，a₃}时，有3³种拆分；
②当A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂，a₃，a₄}时，有7⁴种拆分；
③当A₁∪A₂∪A₃∪A₄={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}时，有15⁵种拆分；
…
其中3³=（2²-1）²⁺¹，7⁴=（2³-1）³⁺¹，15⁵=（2⁴-1）⁴⁺¹，…
由以上结论，推测出；当A₁∪A₂∪…A_n={a₁，a₂，a₃，…a_n+1}有 （2ⁿ-1）ⁿ⁺¹种拆分．
故答案为：（2ⁿ-1）ⁿ⁺¹

点评：本题主要考查了合情推理中的归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．