Question

（2012•威海二模）在等比数列{a_n}中，a2=

1

4

，a3•a6=

1

512

．设bn=log2

a

2 n

2•log2

a

2 n+1

2，

T

n

为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n-2(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求通项，进而利用裂项法求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）分类讨论：①当n为偶数时，由λT_n＜n-2恒成立得λ＜(2n-

2

n

-3)min；②当n为奇数时，由λT_n＜n+2恒成立得λ＜(2n+

2

n

+5)min，由此可得实数λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，由a3a6=a22•q5=

1

16

q5=

1

512

得q=

1

2

，
∴an=a2•qn-2=(

1

2

)n．----------------------------------（2分）

bn=log2 a 2 n 2•log2 a 2 n+1 2=log( 1 2 )2n-12•lo g 2n+1 _( 1 2 )

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．----（5分）
（Ⅱ）①当n为偶数时，由λT_n＜n-2恒成立得，λ＜

(n-2)(2n+1)

n

=2n-

2

n

-3恒成立，
即λ＜(2n-

2

n

-3)min，----------------------------------（6分）
而2n-

2

n

-3随n的增大而增大，∴n=2时(2n-

2

n

-3)min=0，
∴λ＜0；----------------------------------（8分）
②当n为奇数时，由λT_n＜n+2恒成立得，λ＜

(n+2)(2n+1)

n

=2n+

2

n

+5恒成立，
即λ＜(2n+

2

n

+5)min，-----------------------------------（9分）
而2n+

2

n

+5≥2

2n• 2 n

+5=9，当且仅当2n=

2

n

⇒n=1等号成立，
∴λ＜9．---------------------------------------（11分）
综上，实数λ的取值范围（-∞，0）．----------------------------------------（12分）

点评：本题考查等比数列的通项，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查求最值，属于中档题．