题目内容
3．
每天的P值是空气质量的重要指标，空气质量级别与P值范围对应关系如表所示，为了了解某市2014年的空气质量，随机抽取了该市2014年10天的P值数据，绘制成茎叶图如图所示．（1）试估计该市2014年P值的日平均值；
（2）把频率视作概率，求该市的后续3天时间里至少有1天空气质量超标的概率；
（3）从这10天的P值数据中任取3天的数据，将其中空气质量达到一级的天数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
| PM2.5日均值（微克/立方米）范围 | 空气质量级别 |
| （1，35] | 1级 |
| （35，75] | 2级 |
| 大于75 | 超标 |
分析 （1）利用平均数的计算方法，即可估计该市2014年P值的日平均值；
（2）把频率视作概率，求出未超标的概率，即可求该市的后续3天时间里至少有1天空气质量超标的概率；
（3）确定ξ的可能取值，求得相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．
解答 解：（1）估计该市2014年P值的日平均值为$\frac{1}{10}$（25+30+30+35+44+46+48+52+62+78）=45；
（2）由题意，1天空气质量超标的概率为p=$\frac{1}{10}$，未超标的概率为$\frac{9}{10}$，
由于空气质量是否超标相互独立，所以该市的后续3天时间里至少有1天空气质量超标的概率为1-$（\frac{9}{10}）^{3}$=0.271；
（3）ξ的可能取值为3，2，1，0，这10天的P值数据中空气质量达到一级的天数共有4天，
所以P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
∴ξ的分布列如下：
| ξ | 3 | 2 | 1 | 0 |
| P | $\frac{1}{30}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |
点评 本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
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