题目内容
14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F，点P在椭圆上，且PF⊥x轴，|PF|=$\frac{1}{2}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P1P2是椭圆上不同的两点，P1P2⊥x轴，圆E过F，P1，P2三点，且椭圆上任意一点都不在圆E内，求圆E的方程．
分析 （Ⅰ）设F（c，0），x=c代入椭圆方程，解得|PF|，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由椭圆的对称性，设P1（m，n），P2（m，-n），点E在x轴上，设点E（t，0），圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由此利用内切圆定义结合已知条件能求出椭圆C存在符合条件的内切圆方程．
解答 解：（Ⅰ）设F（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得
y2=b2（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$），解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由题意可得，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2-b2=c2，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
（Ⅱ）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），
点E在x轴上，设点E（t，0），
则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，
设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，
则|ME|2=（x-t）2+y2=$\frac{3}{4}$x2-2tx+t2+1，
当x=m时，|ME|2最小，∴m=-$\frac{-2t}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4t}{3}$，①，
又圆E过点F，所以（-$\sqrt{3}$-t）2=（m-t）2+n2，②，
点P1在椭圆上，∴n2=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，③，
由①②③解得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
又t=-$\sqrt{3}$时，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2，不合题意，
综上：圆心E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），m=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，n2=$\frac{2}{3}$，
即有圆E的方程为（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）2+y2=$\frac{3}{4}$．
点评 本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式的运用，同时考查圆的方程的求法，注意运用对称性是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC．过A、C、D三点的平面记为a，BB1与a的交点为Q．则以下四个结论：①QC∥A1D；②B1Q=2QB；③直线A1B与直线CD相交；④四棱柱被平面a分成的上下两部分体积相等．其中正确的个数为（ ）
| A． | 30° | B． | 60° | C． | 90° | D． | 120° |
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和CD，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=AD=AB=2CD，点E为棱SD的中点．
根据新修订的“环境空气质量标准”指出空气质量指数在0-50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数．从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[40，50），由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图，
每天的P值是空气质量的重要指标，空气质量级别与P值范围对应关系如表所示，为了了解某市2014年的空气质量，随机抽取了该市2014年10天的P值数据，绘制成茎叶图如图所示．