Question

已知函数
（1）若x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的表达式
（2）若f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，根据极值点处的导数为零，建立方程组，求解即可．
（2）根据f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数转化成f'（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．再利用线性规划的方法求出a²+b²的最小值．
解答：解：（1）∵∴f'（x）=x²+ax-b（2分）
又x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点
∴-2，4是方程x²+ax-b=0的两个根

∴（4分）
（2）∵f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数∴f'（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．
∴


∴a²+b²的最小值为A到原点O的距离的平方，即（-2）²+3²=13
∴a²+b²的最小值为13（12分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及根据单调性研究参数的范围，属于中档题．