Question

已知函数
（1）若x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的表达式；
（2）若f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a-b的最大值．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=x²+ax-b
∵x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，
∴-2+4=-a，（-2）×4=-b
∴a=-2，b=8
∴，f′（x）=x²-2x-8；
（2）由f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，可知x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立
∴，∴
令a-b=m（a+b）+n（3a-b），则，∴
∴（a+b）+（3a-b）≤-5
∴a-b≤-5
∴a-b的最大值为-5．
分析：（1）求导函数，利用x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，可得f′（-2）=0，f′（4）=0，建立方程，即可求得函数f（x）的表达式；
（2）f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，可知x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立，从而可得不等式，再将a-b用结论线性表示，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．