Question

已知椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若，求k的值；
（3）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得=1．（2）直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．设D（x，kx），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，故x₂=-x₁=．由此能求出k的值．
（3）根据点到直线的距离公式，知点E，F到AB的距离，分别求出为h₁，h₂，|AB|==，由此能求出四边形AEBF的面积的最大值．
解答：解：（1）由题意=1．
（2）直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
设D（x，kx），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=．
由；
由D在AB上知x+2kx=2，
得x=．
所以．
（3）根据点到直线的距离公式知，
点E，F到AB的距离分别为
h₁=，
又|AB|==，
所以四边形AEBF的面积为
S=．
当2k=1，即当k=．
点评：本题考查直线和椭圆的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地进行等价转化．