Question

（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形，且， M是A₁B₁的中点，

（1）求证：平面ABC；
（2）求二面角A₁—BB­1—C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）见解析；  （Ⅱ）。

本试题抓哟是考查了面面垂直和二面角求解的综合运用。
（1）对于线面垂直的证明，一般利用线线垂直，通过判定定理得到线面垂直的证明，关键是
（2）建立合理的空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量，以及借助与向量与向量的夹角表示出二面角的平面角的求解的运算。
（Ⅰ）∵侧面是菱形且 ∴为正三角形
又∵点为的中点 ∴ 
∵∥ ∴
由已知 ∴平面                         （4分）
（Ⅱ）（法一）连接，作于，连接

由（Ⅰ）知面，∴
又 ∴面 ∴
∴为所求二面角的平面角      （8分）
设菱形边长为2，则
在中，由知：
在中，   ∴
即二面角的余弦值为                    （12分）
（法二）如图建立空间直角坐标系

设菱形边长为2
得，
，
则，
，
设面的法向量，由,得
，令，得                        （8分）
设面的法向量， 由，得
,令，得                 （10分）
得.
又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为     （12分）