Question

在△ABC中，三边a，b，c满足：a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0．
（1）探求△ABC的最长边；
（2）求△ABC的最大角．

Answer 1

分析：（1）通过已知关系式求出b与a，c与a的关系式，判断c与a的大小，c与b的大小，判定最大边．
（2）通过已知关系式，求出关于C的余弦定理的关系式，然后求出C的大小．

解答：解：（1）

a2-a-2b-2c=0 a+2b-2c+3=0

即

2b+2c=a2-a 2b-2c=-a-3

，
∴

2b+2c=a2-a 2b-2c=-a-3

即

b= 1 4 (a2-2a-3)① c= 1 4 (a2+3)②

由①b=

1

4

(a2-2a-3)=

1

4

(a+1)(a-3)＞0，
∴a＞3，c-a=

1

4

(a2+3)-a=

1

4

(a-1)(a-3)＞0，
c-b=

1

4

(a2+3)-

1

4

(a2-2a-3)=

1

4

(2a+6)＞0，
所以最大边长为c．
（2）由已知

(a+2b)+2c=a2 (a+2b)-2c=-3

，等式两边对应相乘得（a+2b）²-4c²=-3a²，
∴a²+b²-c²+ab=0，
由余弦定理可知cosC=-

1

2

，
∴∠C=120°

点评：本题考查解三角形，判断三条边长的大小关系，余弦定理的应用，考查计算能力．