题目内容

△ABC中，∠A=
π
3
，边BC=
7
，
AB
•
AC
=3，且边AB＜AC，则边AB的长为（　　）
分析：由A的度数求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则化简
AB
•
AC
=3，将cosA的值代入求出cb的值，用c表示出b，利用余弦定理列出关系式，将表示出的b，a及cosA的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，根据AB小于AC，得到c小于b，可得出满足题意的c的值，即为AB的长．
解答：解：∵
AB
•
AC
=3，cosA=cos
π
3
=
1
2
，
∴cbcosA=3，即cb=6，
又BC=a=
7
，b=
6
c
，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：7=（
6
c
）2+c2-6，
整理得：c4-13c2+36=0，即（c2-4）（c2-9）=0，又c＞0，
∴c=2，b=3或c=3，b=2，
∵AB＜AC，即c＜b，
则AB=c=2．
故选A
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握法则及定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
以下命题：
①若|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|，则
a
∥
b
；
②
a
=(-1，1)在
b
=(3，4)方向上的投影为
1
5
；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则
BC
•
CA
=20；
④若
a
•
b
＜0，则向量
a
与
b
的夹角为钝角．
则其中真命题的个数是（　　）
已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，则边长c=
3
3
．
在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC的面积为
3
，a=2
3
，求b、c的值．
在△ABC中，A（x，y），B（-2，0），C（2，0），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
条件 方程
①△ABC周长为10；
②△ABC面积为10；
③△ABC中，∠A=90°		 E1：y2=25；
E2：x2+y2=4（y≠0）；
E3：
x2
9
+
y2
5
=1(y≠0)
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为（　　）
以下命题：
①若|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|，则
a
∥
b
；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影为
1
5
；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则
BC
•
CA
=20；
④若非零向量
a
、
b
满足|
a
+
b
|=|
b
|，则|2
b
|＞|
a
+2
b
|．
⑤已知△ABC中，
PN
=
1
3
（
PA
+
PB
+
PC
）则向量λ（
AB
+
AC
）（λ≠0）所在直线必过N点．其中所有真命题的序号是
①②④
①②④
．

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