Question

以下命题：
①若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，则

a

∥

b

；
②

a

=(-1，1)在

b

=(3，4)方向上的投影为

1

5

；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则

BC

•

CA

=20；
④若

a

•

b

＜0，则向量

a

与

b

的夹角为钝角．
则其中真命题的个数是（　　）

Answer 1

分析：①已知若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|根据向量的数量积公式可得两向量的夹角，可以对

a

∥

b

进行判断；
②先求出两个向量夹角θ的余弦值，再求得

a

=(-1，1)在

b

=(3，4) 方向上的投影为|

b

|cosθ；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，利用余弦定理求出∠ACB，再利用向量的数量积求解即可；
④利用向量的数量积公式得到

a

•

b

＜0时，

a

与

b

的夹角为钝角或平角得到结论．

解答：解：①设两个向量夹角θ，
∵|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|
可得θ=0或π，可得

a

∥

b

，故①正确；
②设两个向量夹角θ，
因为

a

=(-1，1)，

b

=(3，4)
可得cosθ=

(-1，1)•(3，4)

2 ×5

=

2

10

，
∴

a

=(-1，1)在

b

=(3，4)方向上的投影为|

a

|cosθ=

1

5

，故②正确；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，∴cos∠ACB=

52+82-72

2•5•8

=

1

2

，
∴

BC

•

CA

=|

BC

|•|

CA

|cos(π-∠ACB)=-20，
故③不正确；
④

a

•

b

＜0时，

a

与

b

的夹角为钝角或平角，不一定是钝角，故④错误．
故①②正确；
故选B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积与向量的夹角与模，考查综合分析与解决问题的能力，属于中档题．