题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(
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分析：（1）求出函数f（x）=x3+ax2+x+1，对参数a的范围进行讨论得出函数的单调区间．
（2）设函数f（x）在区间(
，
)内是减函数，即导数在区间(
，
)内恒小于0由二次函数的性质转化出关于参数的不等式，解出a的取值范围．
（2）设函数f（x）在区间(
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解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+x+1∴f'（x）=3x2+2ax+1
当a2≤3时，即-
≤a≤
时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a2＞3时，即a＜-
或a＞
时，△＞0，f'（x）=0求得两根为x=
即f（x）在(-∞，
)，(
，+∞)上递增，在(
，
)递减．
（2）f'（x）=3x2+2ax+1
若函数f（x）在区间(
，
)内是减函数，则f′(
)≤0且f′(
)≤0
解得a≤-2
当a2≤3时，即-
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当a2＞3时，即a＜-
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-a±
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即f（x）在(-∞，
-a-
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-a+
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-a-
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-a+
| ||
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（2）f'（x）=3x2+2ax+1
若函数f（x）在区间(
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解得a≤-2
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求解本题的关键是正确求出函数的导数，对于第一问要注意到参数的取值范围对导数的符号有影响故需要对参数分类讨论，而第二问中关键是把函数是减函数的性质转化为函数恒成立的问题，转化思想在高中数学在应用很广泛．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
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A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
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C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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