Question

已知函数f(x)=

16x+7

4x+4

，数列{a_n}，{b_n}满足：a₁＞0，b₁＞0，a_n=f（a_n-1），b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（1）求a₁的取值范围，使得对?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n；
（2）若a₁=3，b₁=4，求证：对?n∈N^*都有0＜bn-an≤

1

8n-1

．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

16x+7

4x+4

=

16(x+1)-9

4(x+1)

=4-

9

4

•

1

x+1

，知an+1-an=(4-

9

4

•

1

an+1+1

)-(4-

9

4

•

1

an+1

)=

9

4

•

an-an-1

(an+1)(an-1+1)

=(

9

4

)n-1•

a2-a1

(an+1)(an-1+1)2(an-2+1)2(a2+1)2(a1+1)

．由a_n＞0（n∈N^*），知要使对?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，只须a₂＞a₁，由此能求出a₁的取值范围．
（2）当a₁=3时，由a_n+1＞a_n，得0＜an＜

7

2

，又a₁=3，3≤an＜

7

2

，由b_n+1＜b_n，得

7

2

≤bn≤4（n∈N），由此能够证明有0＜bn-an≤

1

8n-1

．

解答：（1）解：∵f(x)=

16x+7

4x+4

=

16(x+1)-9

4(x+1)

=4-

9

4

•

1

x+1

，（1分）
∴an+1-an=(4-

9

4

•

1

an+1+1

)-(4-

9

4

•

1

an+1

)=

9

4

•

an-an-1

(an+1)(an-1+1)

=(

9

4

)2•

an-1-an-2

(an+1)(an-1+1)2(an-2+1)

=
=(

9

4

)n-1•

a2-a1

(an+1)(an-1+1)2(an-2+1)2(a2+1)2(a1+1)

（4分）
∵当x＞0时，f(x)=4-

9

4

•

1

x+1

＞4-

9

4

＞0又a₁＞0，
∴a_n＞0（n∈N^*）
要使对?n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，只须a₂＞a₁，即

16a1+7

4a1+4

＞a1?4

a

2 1

-12a1-7＜0
解得0＜a1＜

7

2

．（6分）
（2）证明：当a₁=3时，由（1）知a_n+1＞a_n，即

16an+7

4an+4

＞an，解得0＜an＜

7

2

，
又a₁=3则3≤an＜

7

2

．（7分）
当b₁=4时，由（1）知b_n+1＜b_n，得

7

2

≤bn≤4（n∈N^*）（8分）
∴b_n-a_n＞0（n∈N^*）
∴bn-an=

9

4

(

1

an-1+1

-

1

bn-1+1

)=

9

4

•

bn-1-an-1

(an-1+1)(bn-1+1)

≤

9

4

•

bn-1-an-1

(3+1)( 7 2 +1)

=

bn-1-an-1

8

≤

bn-2-an-2

82

≤≤

b1-a1

8n-1

=

1

8n-1

．（n∈N^*）（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．