Question

点B是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上在第一象限的任意一点，A为双曲线的左顶点，F为右焦点，若∠BFA=2∠BAF，则双曲线C的离心率为（　　）

• A．

  3

• B．3
• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：由已知中点B是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上在第一象限的任意一点，不妨取特殊的点，通过构造直角三角形，利用直角三角形中几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．

解答：解：∵点B是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上在第一象限的任意一点，不妨取过F作x轴的垂线交双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)在第一象限内的交点为B．如图．
由题意得，在直角三角形ABF中，BF=

b2

a

，AF=a+c，∠BAF=45°，
∴

b2

a

=a+c，即b²=a²+ac，⇒c²-a²=a²+ac
解得e=

c

a

=2．
故选D．

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率．