Question

【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形， ， ， ，点在线段上，且， ， 平面.

（1）求证：平面平面；

（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：⑴由条件推出四边形是矩形，得到，再推出， 平面，即可推出平面平面

⑵要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值，当且仅当时， 取得最大值36，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成角的余弦值

解析：（1）由可得，

易得四边形是矩形，∴，

又平面， 平面，∴，

又， 平面，∴平面，

又平面，∴平面平面

（2）四棱锥的体积为，

要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.

由条件可得，

∴，即，

当且仅当时， 取得最大值36.

分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则， ， ， ，

， ， ，

设平面的一个法向量为，由， 可得

，令可得，

同理可得平面的一个法向量为，

设平面与平面所成二面角为，

.

由于平面与平面所成角为锐二面角，所以余弦值为.