题目内容
（2012•淮南二模）已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足|
|-|
|=4，|
-
|=10，
=
，且
=
+λ（
+
），（λ＞0），
的值为（ ）
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| BI |
| BA |
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||||
|
分析：根据题中向量的等式结合平面几何知识，可得I为△PAB内心．过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径作出△PAB内切圆如图，可得|
|=
（|
|+|
|-|
|）=3，结合向量数量积的运算公式和直角三角形中三角函数的定义，可得
=
cos∠IBH=
=3．
| BH |
| 1 |
| 2 |
| PB |
| AB |
| PA |
| ||||
|
| |BI| |
| |BH| |
解答：解：∵
=
cos∠APC，
=
cos∠BPC
∴由
=
，得cos∠APC=cos∠BPC，
∴∠APC=∠BPC，PC是∠APB的平分线
∵
=
+λ（
+
），（λ＞0），
∴
=λ（
+
），（λ＞0），得I在∠CAP的平分线上
因此，I为△APB的角平分线的交点，即△PAB内切圆圆心
过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径，作出△PAB内切圆如图，分别切PA、PB于E、F，
∵|
|-|
|=4，|
-
|=|
|=10，
∴|
|=|
|=
（|
|+|
|-|
|）=
[|
|-（|
|-|
|）]=3
Rt△BIH中，cos∠IBH=
，
∴
=
cos∠IBH=
=3
故选C
| ||||
|
|
| |PC| |
| ||||
|
|
| |PC| |
∴由
| ||||
|
|
| ||||
|
|
∴∠APC=∠BPC，PC是∠APB的平分线
∵
| BI |
| BA |
| ||
|
|
| ||
|
|
∴
| AI |
| ||
|
|
| ||
|
|
因此，I为△APB的角平分线的交点，即△PAB内切圆圆心
过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径，作出△PAB内切圆如图，分别切PA、PB于E、F，
∵|
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
| AB |
∴|
| BH |
| BF |
| 1 |
| 2 |
| PB |
| AB |
| PA |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| PA |
| PB |
Rt△BIH中，cos∠IBH=
| ||
|
∴
| ||||
|
| |BI| |
| |BH| |
故选C
点评：本题给出三角形的内心，求向量的投影大小，着重考查了三角形角平分线的性质、平面向量的线性运算和向量数量积公式等知识，属于中档题．
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