Question

5．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x²+y²-2x-4=0．
（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；
（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x²+y²-2x-4=0的内部，进而得到b的取值范围；
（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．

解答 解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，
则（0，b）点在圆M：x²+y²-2x-4=0的内部，
即b²-4＜0，
解得：-2＜b＜2；
（2）当b=1时，l必过（0，1）点，
当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，
由M：x²+y²-2x-4=0的半径r=$\sqrt{5}$，
故|AB|的最大值为2$\sqrt{5}$，
当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．
此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=$\sqrt{2}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故|AB|的最小值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，转化思想，将直线l与圆M总有两个不同的交点，化为（0，b）点在圆M：x²+y²-2x-4=0的内部，是解答的（1）的关键；