Question

【题目】（本题分）

已知函数，若存在，使得，则称是函数的一个不动点，设二次函数．

（Ⅰ）当， 时，求函数的不动点．

（Ⅱ）若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围．

（Ⅲ）在（）的条件下，若函数的图象上， 两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）实数的取值范围是．

【解析】试题分析：Ⅰ）把， 代入方程f（x）=x，解出x即可；

（Ⅱ）方程f（x）=x恒有两个不相等的实数根，即方程ax2+（b+1）x+b﹣2=x恒有两个不相等的实数根，则 对任意b恒成立，根据二次函数的性质可得a的不等式；

（Ⅲ）设函数f（x）的两个不同的不动点为x1，x2，则A（x1，x1），B（x2，x2），且x1，x2是ax2+bx+b﹣2=0的两个不等实根，则，由题意可得k=﹣1，且AB中点在直线上，代入可得a，b的关系式，分离出b后根据a的范围可得b的范围；

试题解析：

（Ⅰ）当， 时， ，

由得，解得或．

∴函数的不动点为， ．

（Ⅱ）∵对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，

∴对于任意实数，方程恒有两个不相等的实数根，

即方程恒有两个不相等的实数根，

∴，即对任意实数， 恒成立，

∴，

解得．

（Ⅲ）设函数的两个不同的不动点为， ，

则， ，且， 是的两个不等实根，

所以，直线的斜率为，线段中点坐标为，

∵直线是线段的垂直平分线，

∴，且在直线上，

即， ，

∴，当且仅当时等号成立．

又∵，

∴实数的取值范围是．